Historia calculo

El calculo segun sus creadores

LIMITES MATEMATICOS

DEFINICIÓN DE LIMITES MATEMÁTICOS

El concepto de límite es una noción topológica que formaliza la noción intuitiva de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo infinitesimal (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros. Si bien, el concepto de límite parece intuitivamente relacionado con el concepto de distancia, en un espacio euclídeo, es la clase de conjuntos abiertos inducidos por dicha métrica, lo que permite definir rigurosamente la noción de límite.

El concepto se puede generalizar a otros espacios topológicos, como pueden ser las redes topológicas; de la misma manera, es definido y utilizado en otras ramas de la matemática, como puede ser la teoría de categorías.

Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante lim como en lim(an) = a o se representa mediante la flecha (→) como en an → a.

Karl Theodor Wilhelm Weierstrass.

Nació el 31 de octubre de 1815 en Ostenfelde, Westfalia (ahora Alemania) y murió el 19 de febrero 1897 en Berlín, Alemania.

                                                           

Weierstrass estaba interesado en la solidez de cálculo. En ese momento, no había definiciones un tanto ambiguas respecto a las bases de cálculo, teoremas y por lo tanto, importantes no pudieron ser probados con suficiente rigor. Mientras Bolzano había elaborado una definición razonablemente riguroso de un límite ya en 1817 su obra permaneció desconocida para la mayor parte de la comunidad matemática hasta años más tarde, y muchos tenían sólo definiciones vagas de límites y continuidad de funciones.

Cauchy dio una forma de la definición de límite, en el contexto de la definición formal del derivado, en la década de 1820, pero no distingue correctamente entre la continuidad en un punto frente a la continuidad uniforme sobre un intervalo, debido a la insuficiente rigor. Cabe destacar que en el 1821 Cours d'analyse, Cauchy dio una prueba famosa incorrecta de que el límite de funciones continuas es continua en sí. Lo correcto es más bien que el límite uniforme de funciones uniformemente  continua es uniformemente continua. Esto requiere que el concepto de convergencia uniforme, que se observó por primera vez por el consejero de Weierstrass, Christoph Gudermann, en un documento de 1838, donde Gudermann señalar el fenómeno, pero no se definen ni desarrolla en él. Weierstrass vio la importancia del concepto, y ambos se formalizaron y se aplica ampliamente a través de las bases de cálculo.

La definición formal de continuidad de una función, tal como se formula por Weierstrass, es como sigue: Usando esta definición y el concepto de convergencia uniforme, Weierstrass fue capaz de escribir las pruebas de varios teoremas entonces no probados, como el teorema de valor intermedio, el teorema de Bolzano-Weierstrass, y Heine-Borel teorema.

Weierstrass también hizo avances significativos en el campo de la cálculo de variaciones. Utilizando el aparato de análisis que él ayudó a desarrollar, Weierstrass fue capaz de dar una completa reformulación de la teoría que allanó el camino para el estudio moderno del cálculo de variaciones. Entre los varios axiomas importantes, Weierstrass estableció una condición necesaria para la existencia de una fuerte extrema de los problemas variacionales. También ayudó a diseñar la condición de Weierstrass-Erdmann que dan condiciones suficientes para un extremal tener un rincón junto a extrema dado, y le permite a uno encontrar una curva de minimización de una integral dada.

Otros teoremas de análisis

·         Teorema de Stone Weierstrass

·         Weierstrass-Casorati teorema

·         Las funciones elípticas de Weierstrass

·         Función de Weierstrass

·         Weierstrass M-test

·         Teorema de Weierstrass preparación

·         Lindemann-Weierstrass Teorema

·         Teorema de factorización de Weierstrass

·         Parametrización Enneper-Weierstrass

·         Sokhatsky-Weierstrass Teorema

Augustin Cauchy

Nació en París, Francia, en el año de 1789. Su padre lo inició en el estudio de la literatura, y después de una brillante carrera académica, en 1813, Lagrange y Laplace lograron convencer a su padre de que Cauchy dejase sus estudios de ingeniero para dedicarse sólo a las matemáticas. Su única, ingeniosa y original forma de resolver complicadísimos problemas le valieron la celebridad en toda Europa con la que contaba ya a los veinticuatro años. Su muy acentuada religiosidad le impedía jurar a todos los gobiernos que durante su vida hubo, haciéndole esto ganar enemigos y poner en peligro su posición como catedrático, incluso llegó a exiliarse a Italia en 1830. La pérdida de su padre y hermano, el exceso de trabajo y la edad lo acercaron a la muerte, que le llegó en su casa de campo de Sceaux en 1857.

En 1811, Cauchy resolvió el problema de Poinsot, generalización del teorema de Euler sobre los poliedros. Un año más tarde, publicaría una memoria sobre el cálculo de las funciones simétricas y el número de valores que una función puede adquirir cuando se permutan de todas las maneras posibles las cantidades que encierra. En 1814, apareció su memoria fundamental sobre las integrales definidas y luego abordando el teorema de Fermat sobre los números poligonales, llegó a demostrarlo, cosa que no pudieron Euler, Legendre, Lagrange, ni Gauss. Uno de los mayores triunfos lo obtuvo dando vigor a las demostraciones de Lagrange, ateniéndose al cálculo de ceros e infinitos y fijando las convergencias de las series del análisis. 

Algunas de sus obras relacionadas con el cálculo son el Traité de calcul diferentiel et integral (Tratado del cálculo diferencial e integral), Leçons sur la aplication du calcul infinitesimal á la géometrie (Lecciones sobre la aplicación del cálculo infinitesimal a la geometría), Sur les integrales definies prises entre des limites imaginaires (Sobre las integrales definidas tomadas entre límites imaginarios), Sur la aplication du calcul des residus á la solution des problèmes des Physique matématique (Sobre la aplicación del cálculo a la resolución de problemas físico-matemáticos), y Sur un nouveau calcul des limites (Sobre un nuevo cálculo de límites).

 No dejó de ser productivo intelectualmente ni al final de su vida, pues días antes de su muerte leyó en el Instituto una memoria sobre el empleo de un artificio de cálculo llamado coeficiente regulador

Joseph Louis Lagrange

Nacido el 25 de enero de 1736 en Turín, la capital del Piamonte Lagrange fue uno de los científicos matemáticos y físicos más importantes de finales del siglo XVIII. Inventó y maduró el cálculo de variaciones y más tarde lo aplicó a una nueva disciplina la Mecánica Celestial, sobre todo al hallazgo de mejores soluciones al Problema de tres cuerpos. También contribuyó significativamente con la solución numérica y algebraica de ecuaciones y con la teoría numérica. En su clásica Mecanique analytique (mecánicas Analíticas, 1788), transformó la mecánicas en una rama del análisis matemático. Una de las preocupaciones centrales de Lagrange fueron los fundamentos de cálculo.

Obtuvo, entre otros resultados, una ecuación diferencial general del movimiento y su adaptación para el caso particular del movimiento rectilíneo y la solución a muchos problemas de dinámica mediante el cálculo de variantes. Escribió así mismo numerosos artículos sobre cálculo integral y las ecuaciones diferenciales generales del movimiento de tres cuerpos sometidos a fuerzas de atracción mutuas.

Principales aportes a la matemática

·         Teorema del valor medio de Lagrange.

·         Fue el padre y creador del cálculo de variaciones.

·         Multiplicadores de Lagrange.

·         Polinomio de Lagrange.

·         Encontró la solución completa del problema de una cuerda que vibra transversalmente.

·         Creó la idea de ecuaciones generalizadas de movimiento, ecuaciones que demostró formalmente.

·         Descubrió los llamados puntos de Lagrange (astronomía).

·         Teoría del movimiento planetario.

·         Teoría de eliminación de parámetros.

·         Solución completa de una ecuación binomial de cualquier grado.

·         Contribuyó al cálculo de diferencias finitas con la fórmula de interpolación de Lagrange.

·         Aportes a la Teoría de Números y la resolución de ecuaciones algebraicas, que sentaron las bases para la teoría de grupos.

Jean Le Rond d’Alembert

París; 16 de noviembre de 1717 - Íbidem; 29 de octubre de 178. 

Fue uno de los primeros en comprender la importancia de las funciones y en este artículo definió la derivada de una función como el límite de los cuocientes de los incrementos.

D’Alembert fue el que más se acercó a una definición precisa de límite y de derivada. Más en realidad toda duda se desvanecía ante el éxito de sus aplicaciones, de manera que el cálculo infinitesimal, más que una rama de la matemática, se convertía en una especie de doncella de la ciencia natural, en un auxiliar muy valioso, pero auxiliar al fin de las varias ramas de la física.

Su obra maestra fue el tratado de dinámica, donde enunció el teorema que lleva su nombre (principio de d'Alembert). El Teorem Fundamental del Álgebra recibe en algunos países de Europa el nombre de teorema de d'Alembert - Gauss dado que d'Alembert fue el primero en dar una prueba casi completa sobre dicho teorema

Leounhard euler

(1707- 1783)

En su Introducción al análisis de los infinitos (1748), Euler realizó el primer tratamiento analítico completo del álgebra, la teoría de ecuaciones, la trigonometría y la geometría analítica. En esta obra trató el desarrollo de series de funciones y formuló la regla por la que sólo las series convergentes infinitas pueden ser evaluadas adecuadamente.

También abordó las superficies tridimensionales y demostró que las secciones cónicas se representan mediante la ecuación general de segundo grado en dos dimensiones. Otras obras trataban del cálculo (incluido el cálculo de variaciones), la teoría de números, números imaginarios y álgebra determinada e indeterminada.

Euler, aunque principalmente era matemático, realizó también aportaciones a la astronomía, la mecánica, la óptica y la acústica. Entre sus obras se encuentran Instituciones del cálculo diferencial (1755), Instituciones del cálculo integral (1768-1770) e Introducción al álgebra (1770).

Euler tenía una memoria prodigiosa; recordaba las potencias, hasta la sexta, de los 100 primeros números primos, y la Eneida entera. Realizaba cálculos mentalmente que otros matemáticos realizaban con dificultad sobre el papel.

La productividad matemática de Euler fue extraordinaria. Nos encontramos su nombre en todas las ramas de las matemáticas: Hay fórmulas de Euler, polinomios de Euler, constantes de Euler, integrales eulerianas y líneas de Euler. A pesar de todo esto se casó y tuvo trece hijos, estando siempre atento al bienestar de familia; educó a sus hijos y nietos.

Johan y Jakob Bernoulli

1667-1748

Durante 1692 y 1693 los hermanos trabajaron juntos, manteniendo una rivalidad amistosa que años posteriores se transformó en una abierta hostilidad.

La integración fue vista por Johann Bernoulli, simplemente como la operación inversa de diferenciación y, con esta aproximación  el obtuvo muchos éxitos integrando ecuaciones diferenciales.

Sumó series y descubrió teoremas adicionales para funciones trigonométricas e hiperbólicas.

Por estas excelentes contribuciones a las matemáticas logró un lugar en la universidad de Groninga.

Johann Bernoulli tuvo su mayor forma en vida y fue electo como miembro de las academias de parís, Berlín Londres  Bolonia etc.

Matemático suizo. Nació el 27 de diciembre de 1654 en Basilea, Suiza. Hermano del también matemático, Johann Bernoulli y tío del científico Daniel Bernoulli. Se graduó en Teología en el año 1676 y hasta 1682 viajó por Francia, Inglaterra y los países nórdicos. Regresó a su país y comenzó a ejercer como profesor de mecánica en la Universidad de Basilea desde el año 1683.

Fue el primero en usar el término integral en el año 1690. Utilizó tempranamente las coordenadas polares y descubrió el isócrono, curva que se forma al caer verticalmente un cuerpo con velocidad uniforme. En una disputa matemática con su hermano Johann, inventó el cálculo de las variaciones. Además trabajó en la Teoría de la Probabilidad. Jakob Bernoulli falleció el 16 de Agosto de 1705 en Basilea, Suiza.

Gottfried Wilhen Leibntz

1 de julio de 1646 -  14 de noviembre de 1716)

En 1684, publica detalles de su Cálculo diferencial en Nova Methodus pro Maximis et Minimis, item que Tangentibus (Nuevos Métodos para Máximos y Mínimos y para las Tangentes). En este artículo aparece la conocida flotación d para las derivadas, las reglas de las derivadas de las potencias, productos y cocientes. Pero no habla demostraciones.

Expuso los principios del calculo infinitesimal; resolviendo el problema de la isócrona y de algunas otras aplicaciones mecánicas; utilizando ecuaciones diferenciales. La mayor aportación de este ilustre personaje fue la aportación del nombre de calculo diferencial e integral; así como la invención de símbolos matemáticos para la mejor explicación del cálculo; como el signo = asi como su notación para las derivadas dx/dy & su notación para las integrales. 

*Existía gran rivalidad entre ellos por el hecho de no compartir las mismas ideas filosóficas, además que cada uno decía ser el inventor del Cálculo Diferencial y de la gravitación universal.

Isaac Newton

25 de diciembre de 1642 a 20 de marzo de 1727

En 1664, descubrió los elementos del cálculo diferencial, que llamaba fluxiones. Generalizó los métodos que se habían utilizado para trazar líneas tangentes a curvas y para calcular el área encerrada bajo una curva, y descubrió que los dos procedimientos eran operaciones inversas. Uniéndolos en lo que él llamó el método de las fluxiones, Newton desarrolló en el otoño de 1666 lo que se conoce hoy como cálculo, un método nuevo y poderoso que situó a las matemáticas modernas por encima del nivel de la geometría griega.

En 1711, publicó diversos libros relacionados al Cálculo como analysi per aequationes numero terminorum infinitas. También, esta relación entre series y cálculo se manifiesta en Methodus fluxionum et serierum infinitorum (escrito en 1671), y publicado en inglés en 1736 y en latín en 1742.

El único libro en que Newton mostró su cálculo y publicó rápidamente fue Philosophiae naturalis principia matemática (1687). 

Pierre de Fermat

Francia, 17 de agosto de 1601;¹ Castres, Francia, 12 de enero de 1665

Pierre de Fermat fue un jurista y matemático francés apodado por Eric Temple Bell con el sobrenombre de «príncipe de los aficionados».

Descubrió el cálculo diferencial antes que Newton y Leibniz, fue cofundador de la teoría de probabilidades junto a Blaise Pascal e independientemente de Descartes, descubrió el principio fundamental de la geometría analítica. Sin embargo, es más conocido por sus aportaciones a la teoría de números en especial por el conocido como último teorema de Fermat, que preocupó a los matemáticos durante aproximadamente 350 años, hasta que fue demostrado en 1995 por Andrew Wiles ayudado por Richard Taylor. 

El teorema sobre la suma de dos cuadrados afirma que todo número primo p, tal que p-1 es divisible entre 4, se puede escribir como suma de dos cuadrados. El 2 también se incluye, ya que 12+12=2. Fermat anunció su teorema en una carta a Marin Mersenne fechada el 25 de diciembre de 1640, razón por la cual se le conoce también como Teorema de navidad de Ferma.

CALCULO DIFERENCIAL

CALCULO DIFERENCIAL

El cálculo diferencial es una parte del análisis matemático que consiste en el estudio de cómo cambian las funciones cuando sus variables cambian. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada. Una noción estrechamente relacionada es la de diferencial de una función.

El estudio del cambio de una función es de especial interés para el cálculo diferencial, en concreto el caso en el que el cambio de las variables es infinitesimal, esto es, cuando dicho cambio tiende a cero (se hace tan pequeño como se desee). Y es que el cálculo diferencial se apoya constantemente en el concepto básico del límite. El paso al límite es la principal herramienta que permite desarrollar la teoría del cálculo diferencial y la que lo diferencia claramente del álgebra.